PROYECTO

GEOMETRÍA Y ANÁLISIS DE LOS ÁNGULOS RESULTANTES DE LA INTERSECCIÓN DE PLANOS, EN LA TECNOLOGÍA CONSTRUCTIVA DE CUBIERTAS DE EDIFICACIÓN (extensible y extrapolable a otras muchas situaciones teóricas y prácticas)

Como podéis comprobar día a día, en la tecnología de la construcción es muy frecuente trabajar con ángulos, en el plano y en el espacio. 

En muchas ocasiones, para manejar ángulos utilizamos las funciones trigonométricas asociadas, debido a lo práctico que resulta, unido incluso a una mayor precisión y que nos permite una rápida evaluación espacial, a partir de unos fáciles cambios de variable que transforman grados y arcos en medidas lineales .Por ejemplo, un ángulo "traducido" a través de su tangente trigonométrica, nos permite identificarlo por las medidas de dos segmentos perpendiculares que guarden la proporción que denominamos tangente. Igualmente su replanteo. 

Si tenemos un plano inclinado, con una plomada y un nivel caracterizamos su tangente trigonométrica, y por tanto su pendiente y ángulo de inclinación.

Cuando dos vertientes de una cubierta se encuentran, dependiendo de las pendientes de cada una de ellas, así como del ángulo diédrico que forman, que podemos ver en las trazas de la intersección de ese  diedro  con un plano horizontal ( por ejemplo, el plano formado por las líneas de aleros), quedan fijados unos ángulos planos en cada uno de lo "faldones" o vertientes, definidos por cada uno de los aleros y la arista común de intersección de las vertientes (arista llamada "limatesa" ).

PRÁCTICA 1

 Observa que tenemos una perspectiva de dos planos, A y B que se cortan (se "encuentran"), en este caso formando un diedro de 90º , pudiendo tener cada uno de ellos una pendiente cualquiera, dentro del rango admisible para nuestros fines ( de 3,18º a 90º).

a) Moviendo los controles, da valores ax,ay, al punto a situado en el plano horizontal, y valores bx,by,bz al punto superior, b, hasta lograr el valor deseado de las pendientes de cada uno de los dos planos.

Observa que para cada par de valores de pendiente se producen unos ángulos i e i´ variables en los planos o "faldones" componentes,  (que son determinantes no sólo en la construcción de las propias vertientes , sino en el tallado de los elementos de cubierta que deben encajar ahí, y que según el valor del ángulo se elaborarán en una, dos, tres o cuatro piezas, con una deriva angular regresiva que, en conjunto, se acomode a esa forma.

Observa también cómo y cuánto varía cada uno de esos ángulos, en función de las pendientes. 

b) ¿Cuándo es más rápida la variación en cada uno de ellos? ¿Cuál de las dos pendientes influye más en esa variación? ¿Cuándo es más notable la variación: cuando una pendientes es muy grande y la otra muy pequeña, o cuando son de valores próximos?. ¿Cuáles son los límites? ¿Qué ocurre cuando las dos pendientes son iguales? Siendo iguales, ¿cómo influye el que sean grandes o pequeñas, aunque iguales?

Verás que en los planos coordenados laterales (x,z  / y,z) se ven las proyecciones, con la perspectiva propia de la escena, de los planos-vertientes abatidos, es decir como si los "pegásemos" en el plano de proyección, para ver su verdadera forma. Fíjate que, aunque esté fijada la ordenada bz , la "altura real" de esas vertientes toma valores variables, por encima del valor de bz, teniendo como valor mínimo precisamente bz . 

c) ¿Cuál es la razón? ¿Quién modula esa variación?  Explícalo intuitivamente y analizando la función seno o coseno asociada a la inclinación de los planos. Calcúlalo en tu cuaderno, para alguno de los valores de pendiente tomados de la escena gráfica.

d) Analiza la influencia de los valores angulares, en conjunto, respecto a las ecuaciones que figuran en la escena.

e) Siendo el ángulo entre aleros, X , de 90º , ¿cómo quedan la expresiones de i e i´ ?. O sea, ¿qué nuevo formato simplificado adquieren las ecuaciones? 

f) Comprueba en tu cuaderno, con la calculadora, alguno ( 3 ó 4 ) de los resultados que tú mismo puedes plantear gráficamente en la escena. Y, a la inversa, calcula primero un supuesto cualquiera y represéntalo después en la perspectiva gráfica, poniendo los valores correspondientes. Observaba las variaciones que se producen cuando introduces una modificación en una o en las dos pendientes. Si esas modificaciones fuesen el resultado de un error constructivo, ¿qué consecuencias entrañaría?

En esta segunda escena gráfica ves que, con los mismos planteamientos anteriores, ahora podemos, además,  variar también el ángulo entre aleros, X , desde 5º a 175º ( 180º sería un único plano continuo ).

Observa que, partiendo de un  par de valores fijos de pendiente, para A y para B, los ángulos i e i´ varían cuando cambiamos el ángulo X . Observa también cómo es la variación, tanto si aumentamos como si disminuimos el valor de X, respecto a 90º.

Ahora también puedes ver que los ángulos de interés, i , i´, pueden resultar mayores de 90º , cuando el ángulo X >90º, y las pendientes involucradas toman unos valores determinados. Es algo así como si al "abrirse" X, uno de los planos tiene que conseguir un ángulo de arista i o i´, >90 , para "encontrar" al otro plano. 

a) Compruébalo variando los ángulos y haciendo, con las pendientes de A y B prefijadas, variaciones de X.

Para ayudarte a visualizarlo mejor, los planos están abatidos, es decir sin proyección oblicua; están en "verdadera" magnitud, para que veas cómo son los ángulos de la arista común en cada plano concurrente, y cómo cambian.

También tienes encima unos pequeños ángulos, cuasi-simbólicos, que van  representando gráficamente los valores de X, i , i´ , y así te hagas una idea de la situación real del conjunto y del despiece

b) Fíjate en cuánto,  cómo y cuándo varían i e i´  y de quién  o de qué depende más su variación. Observa también que cambiando una sóla de las dos pendientes,  variarán los dos ángulos, i e i´ .  Analízalo e intenta encontrar la razón matemática estudiando las ecuaciones que describen esos valores, y que tienes expresadas en la escena, explicándolo en tu cuaderno

c) Vete dando valores, como decíamos antes, y cuando veas unos resultados que te cueste representar o imaginar  mentalmente, en el espacio, utiliza las figuras resultantes para construir plantillas, para que, una vez hechas y recortadas en cartulina, las ensambles y compruebes la concordancia de los resultados con la praxis.

d) De forma idéntica, calcula en tu cuaderno alguno de los conjuntos de valores, pendiente de A, pendiente de B y ángulo X , para ver si son correctos, consistentes y concordantes los resultados del cuaderno y de la ventana gráfica.

e) Ahora, con valores introducidos en esta 2ª escena  y a la vista de cómo resultan los ángulos y los elementos individuales, trasládalos a la escena 1ª para que lo veas en "tres dimensiones", en una perspectiva espacial. y compara.

Y, nuevamente de forma inversa, toma los valores de pendientes de un situación cualquiera en la escena 1ª y trasládalos a la escena 2ª, donde verás los elementos abatidos, sus ángulos, y la influencia que tiene la posterior variación del ángulo X en los resultados primeros

José Luis Menéndez Seigas © Ministerio de Educación y Ciencia 2004